Fingerprints of Projective Planes of Order 25

Here are the fingerprints of the 193 projective planes of order 25 which are known to me. This isomorphism invariant succeeds in distinguishing all non-isomorphic pairs among the known planes of order 25, except for the Foulser planes b1 and b2 (and their duals b1Dual and b2Dual). These pairs of planes are, however, distinguished by other invariants, such as the 5-rank.

Definition of Fingerprint

Given a projective plane of order n (which has N=n²+n+1 points and N lines), consider the N-by-N matrix A with entries a_P,L defined as follows. For each point P, choose an arbitrary but fixed ordering of the lines through P as 1st, 2nd, 3rd, ..., (n+1)st. For each line L, choose an arbitrary but fixed ordering of the points on L as 1st, 2nd, 3rd, ..., (n+1)st. Now for each non-incident point-line pair (P,L), the incidence relation naturally provides a bijection between the n+1 lines through P and the n+1 points on L. Relative to the chosen orderings, this gives a permutation of degree n+1. Define a_P,L to be the sign (1 or −1) of this permutation. If P lies on L, define a_P,L=0.

Note that different choices of orderings for the points and lines have the effect of possibly permuting the rows and columns of A, and possibly multiplying certain rows and columns by −1. Therefore the multiset consisting of the absolute values of the entries of the matrix B=AA^T is an isomorphism invariant of the projective plane. This multiset (i.e. set with multiplicities attached to its elements), due to J.H. Conway, is known as the (complete) fingerprint of the plane.

For translation planes one obtains a computationally cheaper isomorphism invariant, called the (restricted) fingerprint, by replacing A by the (N+1)-by-(N+1) submatrix thereof having rows indexed by the points on the translation line, and columns indexed by lines through the origin. In the case of translation planes of order q² with kernel containing GF(q), this restricted fingerprint is more readily computed directly from the corresponding ovoid of the Klein quadric, as shown by G.E. Moorhouse, Two-graphs and skew two-graphs in finite geometries, Linear Algebra and its Applications 226-228 (1995), 529-551.

Since I am comparing more planes than just translation planes, I have listed only the complete fingerprints. The restricted fingerprints of the translation planes of order 25 have been published by C. Charnes, Quadratic matrices and the translation planes of order 5², in Coding Theory, Design Theory, Group Theory (Proceedings of the Marshall Hall Conference), ed. D. Jungnickel and S. A. Vanstone, J. Wiley & Sons, 1993, pp.155-161. Note however that Charnes there uses a slightly different nomenclature for the 21 translation planes than that which appears in the final corrected and published version of the paper of Czerwinski and Oakden.

Table of Fingerprints of the Known Planes of Order 25

No.	Plane	Description	Fingerprint
1*	s1	Desarguesian	0⁴²³¹⁵⁰625⁶⁵¹
2	b4	Hering	564¹²⁵⁰⁰572¹⁵⁰⁰⁰⁰580¹¹²⁵⁰⁰584¹¹²⁵⁰⁰600³⁵⁶⁵⁰625⁶⁵¹
	b4Dual	Dual Hering	100⁴²⁰168²⁵⁰⁰⁰200¹⁸⁰300²⁰360⁷⁵⁰⁰600³⁹⁰⁰³⁰625⁶⁵¹
3	s2	Hall	572¹⁵⁰⁰⁰⁰576¹²⁵⁰⁰580⁷⁵⁰⁰⁰584¹⁵⁰⁰⁰⁰592¹¹²⁵⁰600²⁴⁴⁰⁰625⁶⁵¹
	s2Dual	Dual Hall	0²⁰24²⁵⁰⁰⁰100³⁶⁰200²⁴⁰400¹⁸504⁷⁵⁰⁰600³⁹⁰⁰¹²625⁶⁵¹
4	a3	Walker	564¹²⁵⁰⁰⁰568³¹²⁵⁰576³¹²⁵⁰580¹²⁵⁰⁰⁰584³¹²⁵⁰592⁶²⁵⁰⁰600¹⁶⁹⁰⁰625⁶⁵¹
	a3Dual	Dual Walker	0⁵⁰24³¹²⁵⁰100²⁰⁰200¹⁰⁰300²⁰⁰400¹⁰⁰600³⁹¹²⁵⁰625⁶⁵¹
5	a2	Dickson nearfield	568¹⁵⁰⁰⁰576¹²⁰⁰⁰⁰580²⁷⁰⁰⁰⁰600¹⁸¹⁵⁰625⁶⁵¹
	a2Dual	Dual Dickson nearfield	0¹⁹²100⁴³²168³⁰⁰⁰⁰200²⁴552²⁵⁰⁰600³⁹⁰⁰⁰²625⁶⁵¹
6	a4	Rao	0¹⁷⁰⁶⁵⁰4²⁰²⁵⁰⁰8²²⁵⁰⁰12²²⁵⁰⁰16³⁷⁵⁰24¹²⁵⁰625⁶⁵¹
	a4Dual	Dual Rao	0⁴²²⁷⁴⁶100³²⁴200³⁶300³⁶400⁶600²625⁶⁵¹
7	a8	Czerwinski & Oakden	0¹⁰⁰⁰⁰60¹⁵⁰⁰⁰⁰64⁹⁰⁰⁰⁰68³⁰⁰⁰⁰72¹⁰⁵⁰⁰⁰168¹²⁵⁰196³⁰⁰⁰⁰200⁶²⁵⁰600⁶⁵⁰625⁶⁵¹
	a8Dual	Dual Czerwinski & Oakden	0¹⁴⁴8⁵⁰⁰⁰40³⁰⁰⁰⁰64¹²⁰⁰⁰⁰88¹⁵⁰⁰⁰96¹³⁰⁰⁰⁰100³³⁶104¹²⁰⁰⁰⁰184¹²⁵⁰200¹⁶⁸216¹²⁵⁰600²625⁶⁵¹
8	s4	subregular	0²⁵⁸¹⁵⁰8⁶⁰⁰⁰⁰12⁶⁰⁰⁰⁰16⁴⁵⁰⁰⁰625⁶⁵¹
	s4Dual	Dual subregular	0⁴²²⁸⁸⁶200⁹⁶300⁹⁶400⁷²625⁶⁵¹
9	b1	Foulser	0⁶⁵⁶⁵⁰4²⁶⁰⁰⁰⁰8⁹⁷⁵⁰⁰625⁶⁵¹
	b1Dual	Dual Foulser	0⁴²²⁵⁷⁸100⁴¹⁶200¹⁵⁶625⁶⁵¹
10	b6	Czerwinski & Oakden	0²⁵⁸¹⁵⁰4¹²⁰⁰⁰⁰8¹⁵⁰⁰⁰12³⁰⁰⁰⁰625⁶⁵¹
	b6Dual	Dual Czerwinski & Oakden	0⁴²²⁸⁸⁶100¹⁹²200²⁴300⁴⁸625⁶⁵¹
11	s5	subregular	0⁷²⁰⁰64²²⁵⁰⁰72¹¹²⁵⁰⁰76⁴⁵⁰⁰⁰80¹¹²⁵⁰196¹⁸⁰⁰⁰⁰200⁴⁵⁰⁰588⁵⁰⁰⁰592¹⁵⁰⁰⁰596¹⁵⁰⁰⁰600⁵²⁰⁰625⁶⁵¹
	s5Dual	Dual subregular	0³⁶100²⁸⁸120¹⁰⁰⁰⁰200¹⁸⁰216¹²⁰⁰⁰⁰224¹⁸⁰⁰⁰⁰232²²⁵⁰⁰264⁹⁰⁰⁰⁰300⁸⁰400⁴²500²⁴625⁶⁵¹
12	a6	Czerwinski & Oakden	568³⁰⁰⁰⁰572⁴⁵⁰⁰⁰576¹²⁷⁵⁰⁰580⁹⁰⁰⁰⁰584⁸²⁵⁰⁰588⁵⁰⁰⁰592²⁶²⁵⁰600¹⁶⁹⁰⁰625⁶⁵¹
	a6Dual	Dual Czerwinski & Oakden	0²⁰⁴24¹⁵⁰⁰⁰100²¹⁶200¹⁸⁰300⁸312¹⁷⁵⁰⁰400⁴²600³⁹⁰⁰⁰⁰625⁶⁵¹
13	a5	Rao	0⁴⁸⁰⁰56¹⁵⁰⁰⁰64³⁰⁰⁰⁰68¹⁵⁰⁰⁰72¹⁵⁰⁰⁰76⁷⁵⁰⁰192⁷⁵⁰⁰⁰196⁹⁰⁰⁰⁰200³³⁰⁰⁰204¹⁵⁰⁰⁰568²⁵⁰⁰576⁴³⁷⁵⁰580⁴²⁵⁰⁰584¹⁵⁰⁰⁰588¹⁰⁰⁰⁰600⁹¹⁰⁰625⁶⁵¹
	a5Dual	Dual Rao	0²³⁸100²³⁶120⁵⁰⁰⁰136¹⁵⁰⁰⁰200¹²⁴216⁵⁰⁰⁰248⁷⁵⁰⁰300⁵²344²¹⁰⁰⁰⁰352¹²⁰⁰⁰⁰392⁶⁰⁰⁰⁰625⁶⁵¹
14	s3	subregular	0¹⁹⁸¹⁵⁰4¹²⁰⁰⁰⁰8¹⁵⁰⁰⁰12⁶⁰⁰⁰⁰16³⁰⁰⁰⁰625⁶⁵¹
	s3Dual	Dual subregular	0⁴²²⁷⁹⁰100¹⁹²200²⁴300⁹⁶400⁴⁸625⁶⁵¹
15	a7	Rao	0¹¹³⁰⁰⁰4¹⁵⁰⁰⁰⁰8³⁷⁵⁰⁰12¹⁰⁰⁰⁰⁰200³⁰⁰⁰240³⁷⁵⁰260¹⁵⁰⁰⁰400³⁰⁰600⁶⁰⁰625⁶⁵¹
	a7Dual	Dual Rao	0²⁵¹⁶⁰40⁷⁵⁰⁰⁰64³⁰⁰⁰⁰⁰80⁷⁵⁰⁰100²⁶⁴120¹⁵⁰⁰⁰200⁶⁰300¹⁶⁰400⁶625⁶⁵¹
16	b5	Walker	564²⁰⁰⁰⁰⁰584⁵⁰⁰⁰⁰588¹⁰⁰⁰⁰⁰596⁵⁰⁰⁰⁰600²³¹⁵⁰625⁶⁵¹
	b5Dual	Dual Walker	120²⁰⁰⁰⁰200⁸⁰216¹²⁵⁰⁰300⁴⁸⁰500⁸⁰600³⁹⁰⁰¹⁰625⁶⁵¹
17	b7	Czerwinski & Oakden	0²⁴⁰⁰56³⁷⁵⁰68¹⁵⁰⁰⁰192⁶⁰⁰⁰⁰196⁹⁰⁰⁰⁰200¹⁵⁰⁰560²⁰⁰⁰⁰568⁸⁰⁰⁰⁰572²⁰⁰⁰⁰580⁴⁵⁰⁰⁰584³²⁵⁰⁰588³⁰⁰⁰⁰596¹⁰⁰⁰⁰600¹³⁰⁰⁰625⁶⁵¹
	b7Dual	Dual Czerwinski & Oakden	0⁹⁶24²⁰⁰⁰⁰100²⁷²120⁷⁵⁰⁰200¹⁸⁶264⁵⁰⁰⁰300⁴⁸400³²472³⁰⁰⁰⁰⁰480⁶⁰⁰⁰⁰500¹⁶520³⁰⁰⁰⁰625⁶⁵¹
18	a1	Czerwinski & Oakden	0¹⁶⁷⁰⁰4³⁷⁰⁶⁵⁰8¹⁵⁰⁰⁰12¹⁰⁶⁰⁰16¹⁰²⁰⁰625⁶⁵¹
	a1Dual	Dual Czerwinski & Oakden	0⁴²²⁵²⁴100⁵⁵²200³⁶300³²400⁶625⁶⁵¹
19	b2	Foulser	0⁶⁵⁶⁵⁰4²⁶⁰⁰⁰⁰8⁹⁷⁵⁰⁰625⁶⁵¹
	b2Dual	Dual Foulser	0⁴²²⁵⁷⁸100⁴¹⁶200¹⁵⁶625⁶⁵¹
20	b8	Czerwinski & Oakden	0¹⁷⁸¹⁵⁰4¹³⁰⁰⁰⁰8⁸⁵⁰⁰⁰12²⁰⁰⁰⁰20¹⁰⁰⁰⁰625⁶⁵¹
	b8Dual	Dual Czerwinski & Oakden	0⁴²²⁷⁵⁸100²⁰⁸200¹³⁶300³²500¹⁶625⁶⁵¹
21	a3a		0¹³²⁵⁰4¹⁵⁰⁰⁰⁰12¹²⁵⁰⁰⁰20⁵⁰⁰⁰24¹¹²⁵⁰⁰40¹³⁷⁵⁰160¹²⁵⁰240¹²⁵⁰600¹¹⁵⁰625⁶⁵¹
	a3aDual		0¹²⁵⁰8⁶²⁵⁰⁰16¹⁰⁰⁰⁰⁰20⁵⁰⁰⁰24⁵⁰⁰⁰⁰32¹⁵⁶²⁵⁰40¹²⁵⁰48⁶²⁵⁰56²⁵⁰⁰⁰100²⁴⁰120¹⁵⁰⁰⁰300²⁰⁰600²¹⁰625⁶⁵¹
22	b4a		40²⁵⁰⁰60¹⁰⁰⁰80⁵⁰⁰92²⁰⁰⁰⁰96¹⁰⁰⁰⁰100²⁰⁷⁰⁰112⁹⁰⁰⁰140¹⁰⁰⁰164²⁰⁰⁰⁰168³⁰⁰⁰⁰180⁵⁰⁰⁰188²⁰⁰⁰⁰196²⁵⁰⁰⁰200²⁵⁰204¹⁰⁰⁰⁰216²⁰⁰⁰⁰220⁴¹⁵⁰⁰228⁴⁰⁰⁰⁰236²⁰⁰⁰⁰240¹³⁰⁰⁰244²⁰⁰⁰⁰260¹⁵⁰⁰⁰268³⁵⁰⁰⁰272²⁰⁰⁰⁰276¹⁰⁰⁰⁰280⁵⁵⁰⁰284⁵⁰⁰⁰520²⁵⁰600²⁹⁵⁰625⁶⁵¹
	b4aDual		8⁵⁰⁰⁰12²⁵⁰⁰56¹⁰⁰⁰⁰60²⁰⁰64³⁶⁰⁰⁰72³⁰⁵⁰⁰80¹⁰⁰⁰⁰84²⁰⁰⁰⁰96⁵⁰⁰⁰100⁴⁰104²⁰⁰⁰⁰108¹⁰⁰⁰⁰120³⁰⁰⁰140²⁰⁰⁰148¹⁰⁰⁰⁰180²⁵⁰⁰188²⁵⁰⁰192²⁵⁰⁰220²⁶⁰⁰⁰224¹²⁵⁰⁰228³⁰⁰⁰⁰232²⁵⁰⁰244²⁰⁰⁰⁰248²⁶²⁵⁰252⁵⁰⁰⁰260²⁵⁰⁰264¹²⁵⁰272⁵⁰⁰⁰276¹⁵⁰⁰⁰280¹⁰⁰⁰284²⁵⁰⁰⁰288²⁷⁵⁰⁰296²⁰⁰⁰⁰300²⁰⁰308²⁵⁰⁰328⁵⁰⁰⁰332¹⁰⁰⁰⁰340²⁰⁰⁰356⁵⁰⁰360⁵⁰⁰376¹⁰⁰⁰380³⁰⁰⁰384⁴⁰⁰⁰400³⁰⁰⁰600²¹⁰625⁶⁵¹
23	b3	Czerwinski & Oakden	0¹³⁸¹⁵⁰4¹²⁰⁰⁰⁰8¹²⁰⁰⁰⁰12²²⁵⁰⁰16²²⁵⁰⁰625⁶⁵¹
	b3Dual	Dual Czerwinski & Oakden	0⁴²²⁶⁹⁴100¹⁹²200¹⁹²300³⁶400³⁶625⁶⁵¹
24	b4b		4²⁴⁰⁰⁰8⁶⁰⁰⁰12⁶⁰⁰⁰16¹⁵⁰⁰⁰20¹⁸³⁰⁰28⁶⁰⁰⁰36¹⁰⁰⁰40¹⁵⁰⁰52¹²⁰⁰⁰56⁶⁰⁰⁰60⁹⁰⁰64¹⁵⁰⁰⁰68¹⁸⁰⁰⁰72⁷⁰⁰⁰80³³⁰⁰88¹⁵⁰⁰96¹²⁰⁰⁰100²⁴⁰104³⁰⁰⁰108²⁰⁰⁰112³⁹⁰⁰120¹⁰⁵⁰132⁵⁶⁰⁰136¹²⁰⁰⁰140¹⁰⁰⁵⁰144¹⁸⁰⁰⁰148²⁷⁰⁰⁰152¹⁵⁰⁰156²⁰⁵⁰⁰160²¹⁹⁰⁰164³⁰⁰⁰168³⁰⁰⁰172²¹⁰⁰⁰176²¹⁰⁰⁰180⁶⁰⁰⁰184²⁴⁰⁰⁰188⁹⁰⁰⁰192³⁰⁰⁰196⁷⁵⁰⁰200³⁰⁰204¹⁰⁰⁰⁰208⁶⁰⁰⁰212⁹⁰⁰⁰216³⁰⁰⁰220⁴⁰⁵⁰228⁵⁵⁰⁰240²⁸⁵⁰280⁹⁰⁰312¹⁰⁰⁰340⁹⁰⁰348⁵⁰⁰600¹⁴¹⁰625⁶⁵¹
	b4bDual		0³⁰⁰⁰8³⁰⁰⁰16³⁰⁰⁰20¹⁵⁰⁰24⁶⁰⁰⁰28³⁰⁰⁰36¹⁵⁰⁰40¹³⁵⁰⁰48¹⁵⁰⁰52¹⁰⁵⁰⁰56³⁰⁰⁰⁰60⁶⁰⁰⁰64¹⁵⁰⁰⁰68¹⁵⁰⁰⁰72¹¹²⁵⁰76¹³⁵⁰⁰80⁹⁰⁰⁰84²²⁵⁰88¹⁴²⁵⁰92¹³⁵⁰⁰96³¹⁰⁰⁰100²³⁴⁰104¹⁵⁰⁰108¹²⁰⁰⁰112⁹⁷⁵⁰124²⁴⁰⁰⁰128¹²⁰⁰⁰132³⁰⁰⁰136²²⁵⁰140⁷³⁵⁰144⁴⁵⁰⁰148⁶³⁰⁰152³⁰⁰⁰160⁸¹⁰⁰164⁶⁷⁵⁰168⁴⁵⁰172⁷⁵⁰⁰176⁷⁵⁰180¹²⁰⁰188⁸²⁵⁰192⁷⁵⁰196⁹⁰⁰⁰200⁵²⁵⁰204⁷⁵⁰208³⁰⁰⁰216³⁰⁰⁰220¹⁸⁰⁰⁰224¹⁷²⁵⁰228⁹⁰⁰⁰236¹⁵⁰240⁶⁰⁰244³⁰⁰256¹⁰⁵⁰260⁴³⁵⁰264³¹⁵⁰268⁶⁰⁰280¹⁵⁰⁰284⁶⁶⁰⁰288³⁹⁰⁰300¹²⁵⁰304¹⁵⁰312³⁰⁰316⁹⁰⁰340²⁴⁰⁰360⁶⁰⁰380³⁰⁰400⁶⁰⁰600²¹⁰625⁶⁵¹
25	a8a		12²⁰⁰⁰20³⁶⁰⁰40³⁶⁰⁰56⁴⁰⁰⁰68¹²⁰⁰⁰72³⁶⁰⁰⁰76²⁴⁰⁰⁰80²⁴⁰⁰⁰88⁴⁸⁰⁰⁰96¹²⁰⁰⁰100³⁰⁰⁰108²⁴⁰⁰⁰116³⁶⁰⁰⁰120⁴⁸⁰⁰⁰124⁴⁸⁰⁰⁰128⁴⁸⁰⁰⁰200⁵⁰⁰216²⁵⁰⁰⁰220⁷²⁰⁰240¹⁸⁰⁰300⁵⁰⁴⁰320⁴⁸⁰⁰420¹²⁰⁰600¹⁴¹⁰625⁶⁵¹
	a8aDual		36⁶⁰⁰⁰56⁶⁰⁰⁰64³⁶⁰⁰⁰72²⁴⁰⁰⁰76⁴⁸⁰⁰⁰84⁵⁴⁰⁰⁰88¹²⁰⁰⁰92⁶⁰⁰⁰100¹²⁰112¹²⁰⁰⁰116⁶⁰⁰⁰120²⁶⁴⁰⁰128²⁴⁰⁰⁰132²⁴⁰⁰⁰140³²⁴⁰⁰144²⁷⁰⁰⁰152²⁴⁰⁰⁰160²⁴⁰⁰196⁶⁰⁰⁰200⁴⁹⁸⁰220⁶⁰⁰⁰232²⁴⁰⁰⁰236⁶⁰⁰⁰240³⁶⁰⁰300³²⁰312¹⁰⁰⁰600⁹³⁰625⁶⁵¹
26*	h1	(Ordinary) Hughes	0⁴³⁷¹⁰4³⁷²⁰⁰⁰40⁷⁴⁴⁰625⁶⁵¹
27	a2a		8²¹⁶⁰⁰⁰12²⁴⁰⁰⁰24²⁰⁰⁰28¹²⁰⁰⁰36⁴⁸⁰⁰⁰44¹²⁰⁰⁰52⁴⁸⁰⁰⁰56²⁴⁰⁰⁰72¹⁰⁰⁰84⁷⁰⁰⁰120⁵⁴⁰⁰140¹²⁰⁰180⁴⁰⁰⁰216⁵⁰⁰220²⁴⁰⁰300¹⁴⁴⁰312⁶⁰⁰⁰320⁴⁸⁰⁰408²⁰⁰⁰600¹⁴¹⁰625⁶⁵¹
	a2aDual		8²⁴⁰⁰⁰20³⁰⁰⁰⁰40²⁴⁰⁰⁰44¹²⁰⁰⁰48⁹⁶⁰⁰⁰56³⁰⁰⁰60⁶¹²⁰⁰64²⁴⁰⁰⁰72⁷⁰⁰⁰92¹⁰⁸⁰⁰⁰96²⁴⁰⁰⁰100²⁴⁰172⁶⁰⁰⁰300²⁰⁰360³⁰⁰440²⁴⁰⁰600⁸¹⁰625⁶⁵¹
28*	s2a		0¹⁹⁰8²⁰⁰⁰⁰16³⁵⁰⁰⁰20²⁰⁰24⁷⁰⁰⁰⁰28⁴⁰⁰⁰⁰32⁸⁰⁰⁰40¹⁰³²⁵⁰44⁶⁵⁰⁰⁰48²⁰⁰⁰⁰52⁷⁰⁰⁰56¹⁰⁰⁰⁰64¹⁰⁰⁰84³⁰⁰⁰88¹²⁵⁰⁰96⁵⁰⁰⁰100⁴⁰⁰⁰108⁵⁰⁰⁰120²⁰⁰⁰160⁶⁰⁰⁰200²²⁵⁰220¹⁰⁰⁰280²⁵⁰300¹²⁰⁰392⁵⁰⁰400¹⁰⁰600⁷¹⁰625⁶⁵¹
29	a7a		0⁴⁰16²⁰⁰⁰⁰20²⁰⁰32³⁰⁰⁰40⁶⁰⁰⁰52²⁰⁰⁰60³⁰⁰⁰80⁴⁰⁰⁰92¹⁰⁰⁰96⁴⁰⁰⁰⁰100³⁰²⁰⁰104⁴⁰⁰⁰⁰112¹⁰⁰⁰⁰116²⁵⁰⁰⁰120³⁰²⁵⁰128²⁰⁰⁰⁰132⁴⁵⁰⁰⁰136³²⁵⁰⁰140²⁰⁰⁰144²⁰⁰⁰⁰148³⁰⁰⁰⁰152¹⁰⁰⁰⁰160¹⁰⁰⁰168¹⁰⁰⁰⁰172²⁵⁰⁰⁰192²⁵⁰200⁷³⁰⁰220¹⁰⁰⁰240¹⁵⁰⁰320¹⁰⁰⁰340¹⁰⁰⁰400³⁰⁰600⁶¹⁰625⁶⁵¹
	a7aDual		0²⁰⁰⁰⁰4²⁵⁰⁰⁰8¹⁰⁰⁰⁰16²⁵⁰⁰⁰20⁵⁰⁰⁰28⁴⁵⁰⁰⁰32⁶⁰⁰⁰⁰40²⁰⁰⁰44⁴⁰⁰⁰⁰56⁵⁰⁰⁰68²⁰⁰⁰72¹⁰⁰⁰80¹¹⁰⁵⁰⁰84³⁰⁰⁰⁰88⁷⁰⁰⁰92⁴⁰⁰⁰100⁵²⁴⁰108¹⁰⁰⁰140²⁰⁰⁰160²⁰⁰⁰180²⁰⁰⁰200²¹⁰⁰300²⁰⁰388¹⁰⁰⁰400¹⁰408²⁵⁰560²⁵⁰⁰580¹⁰⁰⁰⁰600³³⁵⁰625⁶⁵¹
30	s4a		0²⁴⁰4¹⁸⁰⁰⁰12²⁴⁰⁰16⁴⁸⁰⁰⁰20¹⁷⁰⁴⁰⁰24¹⁰⁰⁰28³⁶⁰⁰⁰32²⁴⁰⁰40¹²³⁶⁰⁰60²⁴⁰⁰88⁴⁰⁰⁰120¹²⁰⁰140¹²⁰⁰148²⁴⁰⁰160⁶⁰⁰188¹⁰⁰⁰232²⁴⁰⁰388²⁰⁰⁰392²⁰⁰⁰576⁵⁰⁰592⁴⁵⁰600⁹⁶⁰625⁶⁵¹
	s4aDual		0⁵⁴⁰²⁰4¹²⁰⁰⁰8²⁴⁰⁰⁰12⁴⁸⁰⁰⁰24⁹¹⁰⁰⁰28²⁶⁴⁰⁰32⁴⁸⁰⁰⁰44²⁴⁰⁰48¹²⁰⁰⁰56⁷²⁰⁰60¹²⁰⁰⁰64¹²⁰⁰68⁶⁰⁰⁰76⁴⁸⁰⁰⁰80²⁴⁰⁰⁰100¹²⁰140²⁴⁰200²⁴⁰384³⁰⁰⁰400¹⁸440²⁴⁰⁰456³⁰⁰600⁶¹²625⁶⁵¹
31*	h2	Exceptional Hughes	0²⁴⁸⁰28³⁷²⁰⁰⁰72³¹⁰⁰⁰100⁸⁶⁸⁰200⁵⁵⁸⁰400²⁴⁸⁰600⁹³⁰625⁶⁵¹
32	s2b		0¹²⁷⁵⁰4¹⁸⁰⁰⁰8¹²⁰⁰⁰12¹⁹⁶⁰⁰16²⁴⁰⁰⁰20³²⁴⁰⁰24³³⁵⁰⁰32³⁹⁰⁰⁰36³⁴⁰⁰⁰40¹²⁰⁰⁰44¹²⁰⁰⁰48²⁵⁰⁰⁰52¹⁵⁰⁰⁰56¹⁸⁰⁰⁰60³⁰⁹⁰⁰64¹⁵⁰⁰⁰68⁶⁰⁰⁰72²⁰⁰⁰76²⁷⁰⁰⁰84³⁰⁰⁰88⁶⁶⁰⁰96⁶⁰⁰⁰108⁶⁰⁰⁰112³⁰⁰⁰120¹⁷⁵⁰140⁶⁰⁰160¹⁵⁰168¹³⁰⁰240⁶⁰⁰300³⁰⁰320¹⁵⁰400¹⁸⁶⁰412⁶⁰⁰420⁶⁰⁰592⁹⁰⁰600¹⁵⁹⁰625⁶⁵¹
	s2bDual		0¹⁵³⁹⁰4²⁴⁰⁰⁰8¹⁵⁰⁰12²⁷⁰⁰⁰16¹²⁷⁵⁰20¹⁹⁵⁰⁰24¹⁹⁰⁰⁰28³⁶⁰⁰⁰32⁶⁰⁰⁰36²²⁵⁰⁰40¹⁵⁰⁰⁰44¹³⁵⁰⁰48³⁰⁰56⁵¹⁰⁰⁰60¹⁵⁶⁰⁰64³⁰⁰⁰68²⁵²⁰⁰72¹⁵⁰⁰80⁹⁴⁵⁰84³⁰⁰⁰92⁶⁰⁰⁰100⁶⁰⁰⁰104³⁰⁰108²⁴⁰⁰⁰112⁶⁰⁰116¹²⁰⁰120⁹⁶⁰⁰124⁷²⁰⁰128¹²⁶⁰⁰136³¹⁵⁰140¹⁸⁰⁰144³⁶⁰⁰152¹²⁰⁰⁰156³⁰⁰⁰160²⁴⁰⁰172¹⁵⁰⁰180²⁴⁰⁰200³⁰⁰208¹⁵⁰⁰220¹²⁰⁰280¹²⁰⁰300²⁰⁰600²¹⁰625⁶⁵¹
33	s3a		0¹²¹⁸⁰4²⁴⁰⁰⁰8²⁰⁰⁰16²⁴⁰⁰⁰20⁴²⁰⁰24¹⁰⁰⁰32¹²⁰⁰36⁶⁰⁰⁰40¹⁵⁰⁰60¹²⁰⁰⁰64²⁴⁰⁰⁰72²⁴⁰⁰⁰76⁹⁰⁰⁰⁰80⁶⁰⁰⁰84¹⁰⁸⁰⁰⁰88²⁴⁰⁰⁰92¹⁰⁰⁰100²⁰⁰⁰104⁶⁰⁰⁰108¹²⁰⁰⁰116²⁴⁰⁰⁰120³⁰⁰132¹²⁰⁰140³⁰⁰⁰152⁴⁰⁰⁰168⁶⁰⁰192³⁰⁰300⁶⁰⁰320²¹⁰⁰400⁷²⁰528¹⁵⁰576⁵⁰⁰600⁶⁰⁰625⁶⁵¹
	s3aDual		0²⁰4²⁴⁰⁰⁰16³⁰³⁰⁰20¹²⁰24¹⁰⁰⁰36⁶⁰⁰⁰40³⁰⁰⁰44²⁴⁰⁰⁰48²⁴⁰⁰⁰52²⁴⁰⁰⁰56³⁶⁰⁰⁰64⁶⁰⁰⁰⁰68⁶⁰⁰⁰72³⁰⁰⁰⁰80⁶⁰⁰⁰88³⁰⁰⁰⁰92³⁰⁰⁰100¹²⁰104¹⁵⁰⁰⁰116³⁶⁰⁰⁰120⁶⁶⁰⁰128⁶⁰⁰132¹⁸⁰⁰⁰140⁷⁸⁰⁰144³⁰⁰⁰148¹²⁰⁰156⁶⁰⁰⁰160⁸¹⁰⁰168¹⁵⁰⁰180³⁰⁰⁰192¹²⁰⁰200²⁴⁰220¹³²⁰240³⁶⁰⁰280¹²⁰⁰300¹²⁰⁰400¹⁸600¹²625⁶⁵¹
34	b5a		32³²⁰⁰40⁶¹²⁰⁰44⁹⁰⁰⁰48³²⁰⁰⁰52⁵²⁰⁰⁰56¹⁰⁰⁰60³²⁰⁰⁰64⁸⁰⁰⁰68³²⁰⁰72⁸⁰⁰⁰76³⁴⁰⁰⁰80¹⁶⁰⁰⁰84⁴⁰⁰⁰88³²⁴⁰⁰96¹⁶⁰⁰⁰100¹⁷⁴⁴⁰112¹⁶⁰⁰⁰116¹⁶⁰⁰⁰120⁴⁸⁰⁰140³⁶⁸⁰⁰152⁸⁰⁰⁰156⁴⁰⁰⁰180⁴⁰⁰200²⁰⁰216²⁵⁰⁰220⁸⁰⁰240⁴⁰⁰248¹⁶⁰⁰260⁸⁰⁰600¹⁴¹⁰625⁶⁵¹
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/ revised September, 2006